📜 Law of Cosines (Косинусна Теорема)

## 💡 Дефиниција Косинусната теорема е **генерализација на Питагоровата теорема** за било кој триаголник (не само правоаголен). Таа ја поврзува должината на една страна со другите две страни и аголот меѓу нив. $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$$ Каде $\gamma$ е аголот спроти страната $c$. --- ## 🧠 Интуиција * Ако $\gamma = 90^\circ$, тогаш $\cos 90^\circ = 0$. Членот $2ab \cos \gamma$ исчезнува и добиваме $c^2 = a^2 + b^2$ (Питагора). * Ако $\gamma < 90^\circ$ (остар агол), страната $c$ се "смалува" (одземаме нешто). * Ако $\gamma > 90^\circ$ (тапов агол), $\cos \gamma$ е негативен, па членот станува позитивен ($-2ab(-\dots)$) и страната $c$ се "зголемува". --- ## 📝 Доказ (Векторски) Нека страните се вектори $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ (или $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$, зависи од насоката, квадратот е ист). Квадрираме скаларно: $$\vec{c} \cdot \vec{c} = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$$ $$|\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$$ По дефиниција за скаларен производ $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \gamma$. $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$$ --- ## 🛠 Каде се користи? 1. **SSS (Страна-Страна-Страна):** Кога ги знаеме сите три страни, можеме да најдеме било кој агол. $$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$ 2. **SAS (Страна-Агол-Страна):** Кога знаеме две страни и аголот меѓу нив, ја наоѓаме третата страна. 3. **Пресметка на тежишни линии:** Со примена на косинусна теорема се изведува формулата за должина на тежишна линија.