📜 Cauchy-Schwarz Inequality (Коши-Шварц)

## 💡 Дефиниција За било кои две низи од реални броеви $a_1, \dots, a_n$ и $b_1, \dots, b_n$: **Квадратот на скаларниот производ е помал или еднаков на производот на нормите.** $$(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2) \ge (a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n)^2$$ **Еднаквост важи** ако и само ако низите се пропорционални: $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = k$. --- ## 🧠 Интуиција (Векторска) Во векторски облик, ова е: $$|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2 \ge (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$$ Или ако коренуваме: $|\vec{a}| |\vec{b}| \ge |\vec{a} \cdot \vec{b}|$. Бидејќи $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$, неравенството е еквивалентно на $|\cos \theta| \le 1$, што е очигледно точно. Максимумот се достигнува кога векторите се колинеарни ($\cos \theta = 1$). --- ## 📝 Доказ (Квадратна функција) Да ја разгледаме функцијата $f(x) = \sum_{i=1}^n (a_i x - b_i)^2$. Ова е збир на квадрати, па мора да е $f(x) \ge 0$ за секое $x$. Ако го развиеме: $$f(x) = (\sum a_i^2)x^2 - 2(\sum a_i b_i)x + (\sum b_i^2)$$ Ова е квадратна равенка $Ax^2 + Bx + C \ge 0$. За да биде секогаш ненегативна, нејзината дискриминанта мора да е $\le 0$. $$D = B^2 - 4AC \le 0$$ $$(2\sum a_i b_i)^2 - 4(\sum a_i^2)(\sum b_i^2) \le 0$$ $$4(\sum a_i b_i)^2 \le 4(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)$$ Ако поделиме со 4, го добиваме неравенството. --- ## 🛠 Каде се користи? 1. **Титанова Лема (Titu's Lemma):** Специјална форма на CS, многу корисна за дропки. $$\frac{x_1^2}{a_1} + \dots + \frac{x_n^2}{a_n} \ge \frac{(x_1+\dots+x_n)^2}{a_1+\dots+a_n}$$ 2. **Докажување неравенства:** Кога имате збир на квадрати или корени. 3. **Максимизација/Минимизација:** Наоѓање екстреми без изводи.