📜 AM-GM Inequality (АМ-ГМ)

## 💡 Дефиниција За било кои **позитивни** реални броеви $a_1, a_2, \dots, a_n$, важи: **Аритметичката средина е поголема или еднаква на Геометриската средина.** $$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n}$$ **Еднаквост важи ако и само ако** сите броеви се еднакви: $a_1 = a_2 = \dots = a_n$. --- ## 🧠 Интуиција За два броја ($n=2$): $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$. Ова геометриски значи дека ако имаме правоаголник со страни $a$ и $b$, квадрат со ист периметар ќе има поголема плоштина од правоаголникот. Квадратот е „најефикасната“ форма. --- ## 🛠 Каде се користи? 1. **Докажување неравенства:** Ако видите збир на едната страна и производ на другата. 2. **Наоѓање минимум/максимум:** * Ако производот е константен ($xy=P$), збирот е минимален кога $x=y$. * Ако збирот е константен ($x+y=S$), производот е максимален кога $x=y$. 3. **Реципрочни вредности:** $x + \frac{1}{x} \ge 2$ (за $x>0$). --- ## 🔗 Поврзани задачи - [Задача 4333 (Неравенство со квадрати)](../grade_9/algebra/numerus_4333_4333.md) - [Задача L1_2025_13 (Максимум на израз)](../grade_9/algebra/numerus_L1_2025_13.md)